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사원수 대수 사원수는 복소수와 동일하게 허수를 사용하는 수집합이다.복소수는 하나의 실수부와 하나의 허수부로 구성되었다면,사원수는 하나의 실수부와 세 개의 허수부로 구성된다. 사원수는 세 허수부를 구성하는 단위를 각각 i, j, k 로 표시한다. 아일랜드의 수학자 해밀턴이 창시한 이 수 체계는 복소수가 허수 단위 i를 도입했듯 새로운 단위 j, k를 도입한 것이다. 복소수에서는 허수라고 하여 i² = 1 이라는 수를 만들었고 복소평면으로 2차원 평면에 수를 표현하였다. 여기서 해밀턴은 i와는 다르지만 j² = -1 인 수를 추가하여 3차원 공간을 표현하고자 했다. 그러면 대충 실수부 1개와 허수부 2개로 이루어진 삼원수 a + bi + cj 꼴의 수 체계가 나오게 된다. 그러나 삼원수는 존재하지 않는다. ..

이번 포스팅에서는 오일러 공식을 증명해보겠다. 1. 멱급수멱급수란 다음과 같은 급수 꼴을 의미한다. 이러한 급수를 x0 에서의 멱급수라고 한다. x0  = 0 이라면, 멱급수는 아래와 같이 간단하게 바뀐다.  계수들을 모두 동일한 수라고 생각하자.그러면 멱급수는 등비수열과 동일해지기에, 이해하는데 도움이 된다. 그러면 위 멱급수를 f(x) 로 단순하게 바꿔보자.만약, 함수 f(x)가 무한 미분가능하다고 해보자. 여기서 무한 미분가능이란, 말그대로 무한하게 미분이 가능한 함수를 뜻하며, 대표적인 무한미분 함수는 아래와 같다. 미분해도 0과 같은 수로 수렴하는 것이 아니라 마치 식이 일정한 규칙을 따라 진동하는 꼴을 보인다.  다시 돌아와서 멱급수 함수 f(x)을 무한미분해보자.여기서 계수 부분을 보면 마치..

자연지수함수 오일러 공식은 삼각함수와 자연지수함수와의 관계를 나타내는 공식이다. 무리수 e와 허수 단위 i, 그리고 삼각함수와의 관계를 이용해 나타낸 오일러 공식은 다음과 같다.오일러 공식을 유도하는 해보도록 하자.그러기 위해서는 사전지식이 필요하다. 무리수 e야코프 베르누이는 은행의 복리 이자를 연구하던 도중위 식에 굉장히 큰 값을 x값에 대입할수록 특정 상수에 근접한다는 사실을 알아내게 되었다. x가 굉장히 커질수록 2와 3사이의 어떤 특정한 수 2.71828...... 에 근접한다.이 수를 무리수 e라고 부른다. 이는 보통 오일러 상수 e, 상수 e, 자연 상수 등의 용어로 불리고 있다. 이러한 무리수 e는 극한과 무한대의 개념을 사용해 다음과 같이 표현할 수 있다.극한에 대한 간단한 개념을 풀고나..

복소수복소수는 실수와 허수의 2개의 요소로 구성되는 수집합이며, 집합 기호로는 C로 표기한다.복소수를 구성하는 허수는 무엇인지 알아보자. 허수모든 실수는 제곱하면 0 이상의 수가 나온다.그런데 이러한 실수의 정의만으로는 풀리지 않는 문제들이 등장하면서 제곱해서 음수가 되는 가상의 수를 고안했는데, 이것이 바로 허수이다. 복소수 체계에서 실수와 허수는 완전히 분리된다.이 둘을 구분하기 위해서 허수에는 i라는 기호를 사용하며이를 '허수 단위' 라 부른다. 복소수는 실수부와 허수부로 나뉜다.허수부는 항상 i를 사용해 표기한다. 즉, 크기가 b인 허수부의 수는 bi로 표기해 실수와 구분한다. 그래서 실수부의 값이 a고 허수부의 값이 b인 복소수는 다음과 같이 표기한다. 또는 다음과 같은 순서쌍으로 표기하기도 하..

렌더링에 있어서 중한 것은 빠르게 그리는 것이고가장 효과적인 방법은 시야에 보이는 물체만 그리는 것이다. 대표적인 기법으로는 백페이스 컬링을 들 수 있다.그 외로 사용할 수 있는 기법을 알아보자.  절두체 컬링개요씬에 다수의 오브젝트가 있는 경우 모든 오브젝트를 그리는 것은 비효율적이고, 카메라 시야 안에 보이는 오브젝트만 그리는 것이 훨씬 효율적이다. 그래서 그래픽을 효율적이게 구현하기 위해선 시야, 절두체 영역에 속한 오브젝트만 그려내면 된다.그렇다면 절두체 밖에 있는 오브젝트들을 걸러내야 하는데, 이러한 작업을 절두체 컬링 Frustum Culling 이라고 한다.  절두체는 6개의 면으로 이루어져 있다.이 면들의 각각의 평면의 방정식을 구한 다음에 게임 오브젝트가 6개의 평면 중 하나라도 바깥쪽에..

1. 원근 투영 변환의 원리시선을 한 점에 고정시키고, 고정된 점으로부터 화폭까지 곧게 뻗은 실을 활용해 그림을 그리는 기법을 투시 원근법이라고 한다. 우리가 만든 3차원 공간에 투시 원근법의 원리를 적용하기 위해선 공간의 모든 점이 한 점을 향해 모이는 형태로 변경해야 한다. 이러한 변환을 원근 투영 변환이라고 부른다. 가상 공간에서 눈에 대응하는 물체는 카메라다.그래서 원근 투영 변환을 설계하기 위해서는 눈에 보이는 범위를 카메라에도 설정해야 하는데 이를 화각이라고 한다. 카메라에 화각을 설정하면 상하좌우가 균등한 사각뿔 영역이 만들어진다. 즉, 화각은 사각뿔 영역의 크기를 담당한다고 볼 수 있다.  원근 투영 변환은 뷰공간을 카메라의 한 점으로 모이는 사각뿔 형태를 가진 공간으로 변환하는 작업이라고..

1. 벡터의 외적3차원 벡터 간의 외적은 X 기호를 사용한다. 3차원 유클리드 공간의 벡터 x=(x1​,x2​,x3​), y=(y1​,y2​,y3​) 의 벡터곱 x X y 는 다음과 같이 정의된다. 외적의 결과는 언제나 3차원 벡터가 된다. 1) 외적의 성질외적은 교환법칙이 성립하지 않는다. (내적과 차이점)외적의 순서를 바꿔 연산하면 반대 방향의 벡터가 나온다.외적은 결합법칙도 성립하지 않는다.외적은 덧셈에 대한 분배법칙이 성립한다.결과값은 항상 벡터 값이다. 2) 행렬곱, 내적, 외적 비교 행렬곱내적외적계산 결과행렬스칼라벡터교환법칙XOX결합법칙OXX덧셈에 대한 분배법칙OOO  2) 외적의 활용 : 평행성 판별 동일한 벡터를 외적하면 항상 영벡터가 나온다. 반대방향 벡터를 외적하는 경우에도 동일하다.평..

1. 3차원 공간의 설계3차원의 수학이 2차원과 다른 점은 3개의 축을 사용한다는 것이다.그렇기 때문에 3차원에서의 변환은 2차원보다 더 복잡하며 고려해야 할 점도 많다. 3D로 표현된 사실적인 게임을 만들기 위해서는 3차원 공간의 수학을 이해해야 한다.먼저 3차원 공간을 구성하는 좌표계를 먼저 정의하도록 하자. 3차원 공간은 2차원의 공간에 새로운 축을 추가해야 하는데, 이를 어떻게 설정하느냐에 따라 공간의 체계가 달라진다. 3차원 공간을 설게하는 방법은 크게 두 가지로 구분된다. 기본적으로 가로를 x축, 세로를 y축모니터를 기준으로 앞뒤를 z축으로 둔다. 이 때,나머지 한 축이 모니터에서 나오는 체계를 '오른손 좌표계'나머지 한 축이 모니터 뒤편으로 향하는 체계를 '왼손 좌표게'라고 한다. 좌표계를 ..

더보기#include #include using namespace std;class Player{public:Player(string name): mName(name){}string GetName() const{return mName;}private:string mName;};struct MyEvent{void (*eventFunction)(void*, void*);void* lParam;void* rParam;};class EventProcessor{public:EventProcessor() = default;~EventProcessor() = default;void Push(MyEvent eventStruct){mQueue.push(eventStruct);}void AllExecute(){while ..