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사원수 대수 사원수는 복소수와 동일하게 허수를 사용하는 수집합이다.복소수는 하나의 실수부와 하나의 허수부로 구성되었다면,사원수는 하나의 실수부와 세 개의 허수부로 구성된다. 사원수는 세 허수부를 구성하는 단위를 각각 i, j, k 로 표시한다. 아일랜드의 수학자 해밀턴이 창시한 이 수 체계는 복소수가 허수 단위 i를 도입했듯 새로운 단위 j, k를 도입한 것이다. 복소수에서는 허수라고 하여 i² = 1 이라는 수를 만들었고 복소평면으로 2차원 평면에 수를 표현하였다. 여기서 해밀턴은 i와는 다르지만 j² = -1 인 수를 추가하여 3차원 공간을 표현하고자 했다. 그러면 대충 실수부 1개와 허수부 2개로 이루어진 삼원수 a + bi + cj 꼴의 수 체계가 나오게 된다. 그러나 삼원수는 존재하지 않는다. ..

이번 포스팅에서는 오일러 공식을 증명해보겠다. 1. 멱급수멱급수란 다음과 같은 급수 꼴을 의미한다. 이러한 급수를 x0 에서의 멱급수라고 한다. x0  = 0 이라면, 멱급수는 아래와 같이 간단하게 바뀐다.  계수들을 모두 동일한 수라고 생각하자.그러면 멱급수는 등비수열과 동일해지기에, 이해하는데 도움이 된다. 그러면 위 멱급수를 f(x) 로 단순하게 바꿔보자.만약, 함수 f(x)가 무한 미분가능하다고 해보자. 여기서 무한 미분가능이란, 말그대로 무한하게 미분이 가능한 함수를 뜻하며, 대표적인 무한미분 함수는 아래와 같다. 미분해도 0과 같은 수로 수렴하는 것이 아니라 마치 식이 일정한 규칙을 따라 진동하는 꼴을 보인다.  다시 돌아와서 멱급수 함수 f(x)을 무한미분해보자.여기서 계수 부분을 보면 마치..

자연지수함수 오일러 공식은 삼각함수와 자연지수함수와의 관계를 나타내는 공식이다. 무리수 e와 허수 단위 i, 그리고 삼각함수와의 관계를 이용해 나타낸 오일러 공식은 다음과 같다.오일러 공식을 유도하는 해보도록 하자.그러기 위해서는 사전지식이 필요하다. 무리수 e야코프 베르누이는 은행의 복리 이자를 연구하던 도중위 식에 굉장히 큰 값을 x값에 대입할수록 특정 상수에 근접한다는 사실을 알아내게 되었다. x가 굉장히 커질수록 2와 3사이의 어떤 특정한 수 2.71828...... 에 근접한다.이 수를 무리수 e라고 부른다. 이는 보통 오일러 상수 e, 상수 e, 자연 상수 등의 용어로 불리고 있다. 이러한 무리수 e는 극한과 무한대의 개념을 사용해 다음과 같이 표현할 수 있다.극한에 대한 간단한 개념을 풀고나..

복소수복소수는 실수와 허수의 2개의 요소로 구성되는 수집합이며, 집합 기호로는 C로 표기한다.복소수를 구성하는 허수는 무엇인지 알아보자. 허수모든 실수는 제곱하면 0 이상의 수가 나온다.그런데 이러한 실수의 정의만으로는 풀리지 않는 문제들이 등장하면서 제곱해서 음수가 되는 가상의 수를 고안했는데, 이것이 바로 허수이다. 복소수 체계에서 실수와 허수는 완전히 분리된다.이 둘을 구분하기 위해서 허수에는 i라는 기호를 사용하며이를 '허수 단위' 라 부른다. 복소수는 실수부와 허수부로 나뉜다.허수부는 항상 i를 사용해 표기한다. 즉, 크기가 b인 허수부의 수는 bi로 표기해 실수와 구분한다. 그래서 실수부의 값이 a고 허수부의 값이 b인 복소수는 다음과 같이 표기한다. 또는 다음과 같은 순서쌍으로 표기하기도 하..