[수학] 함수에 대해서

함수

수학에서 함수는 어떤 집합의 각 원소를 다른 집합의 유일한 원소에 대응시키는 이항 관계를 뜻합니다.

한 변수의 값에 따라 다른 한 변수의 값이 정해질 때, 후자는 전자의 함수가 된다. 라고 말할 수 있죠

 

함수가 되기 위해서는 몇 가지 조건을 만족해야 합니다.

 

1) 함수가 성립되기 위한 조건

(1) 집합 X, Y가 있을 때 집합 X의 한 원소 x가 집합 Y의 원소에 유일하게 대응해야 한다.

(2) 집합 X의 모든 원소가 집합 Y의 원소와 대응해야 한다.

 

 

2) 함수가 아닌 대응 관계

(1) 집합 X의 어떤 한 요소가 집합 Y의 원소와 대응하지 않을 때 함수라고 부르지 않는다.

(2) 집합 x의 한 원소가 집합 Y의 2개 이상의 원소와 대응할 때 함수라고 부르지 않는다.

 

3) 함수에 관련된 주요 용어

(1) 함수값

집합 X에서 집합 Y로의 함수를 f: X -> Y 라고 할 때,

집합 X의 원소에 대응하는 집합 Y의 원소를 함수 f에 의한 x의 함수값이라고 합니다.

 

f(x) = y 일 때,

f(a) = b 라면,

b는 함수 f에 의한 a의 함수값인 것이죠.

 

(2) 정의역, 공역, 치역

두 집합 X, Y가 있고 X에서 집합 Y로의 함수를 f라고 할 때,

집합 X를 함수 f의 정의역

집합 Y를 함수 f의 공역

함수값의 집합을 함수 f의 치역 이라고 합니다.

 

 

4) 함수의 종류

함수의 종류에는 단사함수, 전사함수, 전단사 함수가 있습니다.

단사함수는 정의역의 모든 원소에 대해 대응하는 함수값이 각각 다른 함수를 뜻합니다.

전사함수는 공역 = 치역 인 함수를 뜻합니다.

전단사 함수는 전사함수와 단사함수의 특징을 동시에 가지는 함수를 뜻합니다.

3가지 특성을 다 가지지 않는 일반적인 함수도 존재합니다.

 

5) 곱집합

곱집합은 집합 A, B에 대하여 A원소 B원소의 모든 순서쌍을 갖춘 집합을 말하며

AxB 로 표기합니다. 

 

A = {1, 2}, B = {3, 4} 라고 할 떄,

AxB = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} 와 같이 나타내고

BxA = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)} 와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

AxB와 BxA는 다릅니다.

 

 

곱집합의 예시로는 트럼프 카드가 있습니다.

 

집합 A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K}

집합 B = {클로버, 하트, 스페이드, 다이아몬드} 라고 할 때,

트럼프 집합은 AxB 으로 나타낼 수 있죠.

 

 6) 이항 연산을 함수로 해석하기

 

이항 연산은 두 개의 원소를 이용해 하나의 원소를 만들어내는 것을 뜻합니다.

 

x와 y를 이항 연산하여 x.y 를 만들 수 있다는 것인데,

이를 함수로 해석하면

 

f(x, y) = z 형식으로 해석할 수 있습니다.

만약 실수집합에서의 연산이라고 했을때,

 

정의역, 공역을 실수 집합 R로 하는 이항 연산 함수라고 해석할 수 있겠죠.

 

7) 합성 함수

 

함수 h가 두 함수 f, g 의 연쇄로 나타내어질 때, h를 f와 g의 합성함수라고 부릅니다. 

이렇게 표현하거나

이렇게 표현할 수 있습니다.

 

8) 항등함수와 역함수

 

항등함수는 정의역과 공역이 같고, 모든 원소를 자기 자신으로 대응시키는 함수입니다.

역함수는 정의역과 치역을 서로 뒤바꾸어 얻는 함수를 뜻합니다.

 

8-2) 역함수의 조건

역함수가 존재하기 위해서는 함수 f: X -> Y 에 대해서 모든 요소가 일대일대응 이어야 합니다.

단사 함수의 경우 모든 요소를 대응하지는 않기 때문에 역함수를 가질 수 없고

전사 함수의 경우 다른 x 값에 대해서 같은 함수값을 가질 수 있기 때문에 역함수를 가질 수 없습니다.

전단사 함수의 경우 항상 역함수의 존재를 보장합니다.

 

8-3) 역함수의 성질

(1) 어떤 전단사 함수와 그 역함수의 합성 함수는 항상 항등함수다.

(2) 어떤 두 함수를 합성했을 때, 항등함수가 나온다면 그 함수는 역함수관계에 있다.

(3) 어떤 함수 f, g의 합성함수의 역함수는 

f 역함수와 g 역함수의 합성함수와 같다.

(4) 역함수는 원래 함수와 y=x 직선에 대하여 대칭관계를 가진다.