[수학] 수: 가상 세계를 구성하는 가장 작은 단위

1. 수와 집합

가상 세계를 이해하기 위한 첫걸음은 집합이라는 개념으로 수를 이해하는 것이다.

중고등학교 수학에서 배운 집합은 '서로 구분되는 원소로 구성된 묶음'을 의미한다.

이러한 집합론을 소박한 집합론이라고 한다.

 

소박한 집합론의 관점에서는 용도에 따라 수집합을 정의하여 구분하는데

대표적으로 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수, 사원수 등이 있다.

각 수집합은 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

• 자연수
  - 정의
  자연수는 1, 2, 3 .. 과 같은 양의 정수를 포함한다.
  0을 포함하는 경우도 있는데, 이 경우는 '확장된 자연수 집합'이라고 표현한다.
  일반적으로는 양의 정수를 자연수라고 정의한다.
  
  - 기호
  N
  
  
• 정수
  - 정의
  정수는 음의 정수, 0, 양의 정수를 모두 포함하는 수의 집합이다.
  정수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 연산에 대해 닫혀 있으며, 각각의 음수를 포함한다.
  
  - 기호
  Z
  
  
• 유리수
  - 정의
  유리수는 두 정수 p와 q (단, q != 0)의 비율 혹은 분수로 나타낼 수 있는 수의 집합이다.
  즉, p/q 형태로 표현할 수 있는 수이다.
  유리수는 유한 소수 또는 반복 소수(혹은 순환 소수)로 나타낼 수 있다.
  
  - 기호
  Q
  
  

• 무리수
  - 정의
  무리수는 두 정수 p와 q (단, q != 0) 의 비율로 표현할 수 없는 실수이다.
  이는 유리수가 아닌 모든 실수를 포함한다.
  무리수는 소수 표현으로 했을 때 무한 소수로 나타낼 수 있다.
  
  - 예시
  파이, 오일러 수, 제곱근, 황금비 등.. 
  
  - 기호
  I

• 실수
  - 정의
  실수는 유리수와 무리수를 포함하는 모든 수의 집합이다.
  실수는 수직선상의 모든 점을 나타내며, 유리수와 무리수를 포함한다.
  
  - 기호
  R
  
  
• 복소수 (Complex Numbers)
  - 정의
  복소수는 실수와 허수의 조합으로 이루어진 수이다.
  허수는 i² = -1 을 만족하는 i를 의미한다.
  복소수는 a + bi의 형태를 가지며, 이 때 a와 b는 실수이다.
  
  - 기호
  C
  
  
• 사원수 (Quaternions)
  - 정의
  사원수는 복소수를 확장한 수 체계로 실수와 허수 i, j, k 의 총 4가지 단위로 구성된다.
  사원수는 a + bi + cj + dk 형태를 가지며, 여기서 a, b, c, d는 실수이다.
  사원수는 다음과 같은 곱셈 규치를 가진다.
  
  i ² = j ² = k ² = ijk = -1
  ij = k, ji = -k
  jk = i, kj = -i
  ki = j, ik = -j
  
  - 기호
  H

 

이렇게 소박한 집합론으로 정의한 수집합의 관계는 다음과 같이 벤 다이어그램으로 도식화할 수 있다.

 

하지만 소박한 집합론은 인간의 언어로 집합을 정의하기에, 인간 보편적인 관념에 의존할 수밖에 없다.
예를 들어 자연수를 사용해 일상 생활에서 물건을 세는 데 우리는 아무 불편함이 없다.

하지만 자연수의 체계는 어떻게 구성되어 있고 집합의 특징이 무엇인지 분석하고 싶다면 물건을 센다는 개념부터 명확하게 정의해야 할 것이다.

 

이러한 작업을 위해 집합의 성질을 참과 거짓으로 명확하게 구분해 줄 수 있는 명제가 필요하다.

명제 중에서 증명할 필요가 없는 기본 명제를 공리라고 하는데,

공리를 기반으로 대상을 구분하는 집합론을 공리적 집합론이라고 한다.

공리적 집합론에서는 수가 가지는 연산에 대한 공리를 기반으로 수를 분류한다.

 

 

[1] 연산과 수의 구조

수집합의 고유한 특징은 원소를 이용해 연산을 한다는 점이다.

대표적으로 덧셈, 뺄셈, 곱셉, 나눗셈의 사칙연산이 있으며

이들은 2개의 원소를 사용해 새로운 원소를 만들어 내기에 이항연산이라고도 한다.

 

 

같은 집합에 속한 두 수에 대한 이항연산의 값이 항상 피연산 집합과 같은 집합에 속한다면

그 이항연산은 해당 집합에 대해 '닫혀 있다.'라고 한다.

그리고 이항연산에는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이라는 3가지 성질이 존재한다.

(1) 교환법칙

 

 

임의의 두 수 a와 b와의 이항연산에 있어, 순서에 관계없이 항상 동일한 결과가 나오는 성질을 뜻한다.

 

(2) 결합법칙

 

연산이 2번 이상 연속될 떄, 앞의 연산을 먼저 계산한 결과와 뒤의 연산을 계산한 결과가 같은 성질을 의미한다.

(3) 분배법칙

 

서로 다른 2가지 연산에 대해 위와 같은 규칙이 성립되는 것을 의미한다.

 

 

여기서 첫째 줄과 같은 것을 좌분배법칙이 성립한다.라고 하고
둘째 줄과 같은 것을 우분배법칙이 성립한다.라고 한다.

 

이 4가지 성질에 이어, 이항연산이 가지는 특징은 항등원과 역원이다.

 

(4) 항등원

어떤 집합 S에 속하는 수 a, b에 대해서

a + b = a

를 만족하는 어떤 b가 존재하면, 이 b를 항등원이라고 한다.

덧셈의 경우 a + 0 = a 이므로, 0이 항등원이 되고

곱셈의 경우 a * 1 = a 이므로, 1이 항등원이 된다.

 

항등원이 존재할 경우, 항등원은 유일하다.

 

 

(5) 역원

 

항등원을 e라고 할 때,

어떤 집합 S에 속하는 임의의 수 a, b가 존재할 때

 

a + b = e 를 만족하는 b가 존재하면,

이 때의 b를 역원이라고 한다.

 

덧셈의 항등원은 0인데,

a + b = 0, 을 만들 수 있는 b 는 (-a) 이다.

 

곱셈의 항등원은 1인데,

a * b = 1, 을 만들 수 있는 b 는 (1/a) 이다.

(단, 분모가 0인 경우는 정의되지 않기에, 0의 곱셈 역원은 없다.)

 

 

항등원은 덧셈이나 곱셈에 대해 각각 0과 1로 고정되어 있지만,

역원은 덧셈이나 곱셈에 주어진 수에 따라 그 값이 달라진다.

 

덧셈 역원은 주어진 a에 대해 항상 -a 이므로 반대수라고 부른다.

또한 곱셈 역원은 a에 대해 항상 1/a 이므로 역수라고 부른다.

 

 

(6) 이항연산의 성질 정리 

• 닫혀 있다
  어떤 집합에서 두 원소를 사용한 이항연산의 결과가 항상 그 집합에 속하는 성질
  
  
• 교환법칙
  두 원소의 좌우 순서를 바꿔도 결과가 동일한 성질
  
  
• 분배법칙
  세 원소의 연산 순서를 바꿔도 결과가 동일한 성질
  
• 결합법칙
  두 이항연산에 대해
  a * (b + c) = ab + ac
  (b + c) * a = ab + ac
  을 동시에 만족하는 성질
  
  
• 항등원
  주어진 원소와의 이항연산 결과가 언제나 주어진 원소가 되는 특별한 원소
  
  
• 역원
  주어진 원소와의 이항연산 결과가 언제나 항등원이 되는 특별한 원소

 

[2] 수의 구조

어떤 연산에 대해 다음과 같은 성질을 만족하는 수 집합에 대해 생각해보자.

- 연산에 대해 닫혀 있다.

- 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.

- 연산에 대해 항등원이 존재한다.

- 연산에 대해 역원이 존재한다.

- 연산에 대해 교환법칙이 성립한다.

정수 집합 Z의 구조를 이와 같은 공리 체계에서 분석해보자

덧셈(+)은 위 공리를 모두 만족한다.

그러나 뺄셈(-)은 교환법칙이 성립하지 않기 때문에, 위 공리를 만족하지 못한다.

이번에는 연산을 하나 더 추가해, 두 개의 연산에 대한 공리를 생각해보자

- 두 번째 연산에 대해 닫혀 있다.

- 두 번째 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.

- 첫 번째 연산과 두 번째 연산에 대해 분배법칙이 성립한다.

- 두 번째 연산에 대해 교환법칙이 성립한다.

- 두 번째 연산에 대해 항등원이 존재한다.

- 두 번째 연산에 대해 역원이 존재한다. (단, 0은 제외)

 

이번에도 정수 집합 Z에 곱셈 연산을 추가하고 이와 같은 공리를 만족하는지 살펴보자.

정수 집합은 곱셈에 닫혀 있고, 결합법칙과 분배법칙이 성립하며 교환법칙도 성립한다.

하지만 정수 집합의 원소 a에 대한 곱셈의 역원은 정수로 정의하지 못한다.

 

따라서 정수 집합의 덧셈과 곱셈은 앞서 말한 공리를 모두 만족하지 못한다.

 

그렇다면 덧셈과 곱셈 연산에 대해 11가지 공리를 모두 만족하는 수 집합은 어떤 것이 있을까?

일단 자연수 N과 정수 Z는 이를 만족하지 못한다.

 

하지만 유리수Q와 실수R은 곱셈의 역원이 존재하기 때문에

두 연산에 대해 앞서 열거한 11가지 공리를 모두 만족한다.

 

공리적 집합론에서 두 연산에대 11가지 공리를 모두 만족하는 수 집합을 체(Field)라고 한다.

유리수, 실수와 같이 체의 구조에서 정의된 수 집합은 어떤 경우에서도 덧셈과 곱셈을 안전하게 할 수 있다.

 

사칙 연산을 구성하는 나머지 연산인 뺄셈과 나눗셈으로 체의 구조를 살펴보자.

 

a - b != b - a

a / b != b / a

 

이므로 나눗셈과 뺄셈은 체의 구조를 지니지 못한다고 말할 수 있다.

그러면 체의 구조에서 뺄셈과 나눗셈을 자유롭게 못 쓰는 것인가?

 

해결책은 뺄셈 대신 덧셈의 역원을 사용하고,

나눗셈 대신 곱셈의 역원을 사용하는 것이다.

 

a + b = 0, 을 만족하는 b는 -a 이고

a * b = 1, 을 만족하는 b 는 1/b 다.

 

그러므로 뺄셈과 나눗셈 대신 덧셈과 곱셈의 역원을 사용하면 교환법칙이 성립하면서 같은 결과를 만들어 낸다.

 

a + (-b) = (-b) + a

a * (1/b) = (1/b) * a

 

그렇기 때문에 수 집합의 구조를 분석할 떄는 덧셈과 곱셈의 두 가지 연산에 대해서만 살펴보는 것으로 충분하다.

 

 

[3] 수의 표현

직선 상에 유리수의 원소를 모두 순서대로 나열하는 상황을 가정해보자

유리수는 순환하지 않는 무한소수를 원소로 가지지 않기 때문에,

파이, 제곱근과 같은 수를 표현할 수 없다.

 

이러한 빈틈을 무리수로 채워 완벽한 연속성을 가지는 직선을 만들어 내는 수가 실수이다.

이렇게 실수를 대응시켜 표현한 직선을 수직선이라고 하며, 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

 

실수의 모든 요소는 상호 간에 크기를 비교할 수 있고, 모든 실수 원소는 수직선 상에 자신의 고유한 위치를 갖게 된다.

 

실수를 점으로 표현한다고 했을 때, 0을 기준으로 양수와 음수라는 2개의 체계가 서로 대칭되어 있는 것으로도 해석할 수 있다.

어떤 수의 원점으로부터의 거리는 '수직 막대 기호'를 써서 나타내는데, 이를 절댓값이라고 한다.

 

|-a| = a

 

우리는 시각적인 효과를 나타내기 위해 수와 연산을 사용한다.

물체에 힘을 가해 이동하거나, 크기를 늘리는 작업을 덧셈과 곱셈연산으로 해석할 수 있다.

 

점 -2가 있을 때, 이 점에 +5를 더하는 것은

점을 오른쪽 방향으로 5칸만큼 이동시키는 것과 같다.

 

그리고 점 -2가 있을 때, 이 점에 2를 곱하는 것은

해당 점의 원점으로부터의 거리를 2배만큼 늘리는 것과 같은 작업으로 볼 수 있으며

-1을 곱하면 원점을 기준으로 대칭하는 것으로 이해할 수 있다.

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2. 함수

함수란 두 집합 사이의 관계를 설명하는 논리적 개념으로, 간단하게 정의역의 원소 모두가 공역의 어떤 원소에 대응되는 관계를 말한다.

 

[1] 함수의 개념과 종류

두 집합을 X와 Y라는 기호로 정하고

집합 X의 원소를 x, 집합 Y의 원소를 y라 할 때

X에서 Y로 대응되는 함수를 y = f(x) 로 나타낸다.

 

두 집합의 대응 관계는 다음과 같은 그림으로 표현할 수 있다.

 

두 집합의 요소가 서로 대응된다고 모두 함수로 인정되는 것은 아니고

다음 두 규칙을 성립해야 한다.

 

(1) 첫 번째 집합의 모든 원소에 대한 대응 관계가 존재해야 함

(2) 첫 번째 집합의 원소는 두 번째 집합의 한 원소에만 대응되어야 함

 

 

위 그림에서 두 번째 그림은

정의역의 어떤 원소가 공역에 대응되지 않으므로 함수라고 정의할 수 없다.

또한 세 번째 그림은

정의역의 어떤 원소가 공역의 2개 이상의 원소에 대응되므로 함수라고 정의할 수 없다. 

 

여기서 집합 X를 정의역(domain), Y를 공역(codomain)이라 말한다.

정의역의 모든 원소는 공여그이 원소에 대응되어야 하지만 공역의 모든 원소가 정의역에 대응할 필요는 업삳.

그렇기 때문에 정의역에 대응되는 공역의 원소만 모아 공역의 부분집합을 형성할 수 있는데, 이를 치역이라고 부른다.

 

 

또한 정의역의 요소를 입력, 입력에 대응하는 공역의 요소를 출력이라고 한다.

그래서 다음과 같은 그림으로도 함수를 나타낼 수 있다.

 

정의역과 공역이 서로 대응되는 형태에 따라 함수를 여러 종류로 구분할 수 있다.

 

(1) 전사함수

전사함수(Surjection)는 공역의 모든 요소가 정의역에 대응되는 함수를 의미한다.

이 때, 공역과 치역은 동일한 집합이다.

 

 

(2) 단사함수

단사함수(Injection)는 정의역과 공격의 요소가 일대일로 대응되는 함수를 의미한다.

 

(3) 전단사함수
전단사함수(Bijection)는 정의역과 공역의 모든 요소가 빠짐없이 일대일로 대응되는 함수를 의미한다.

 

(4) 합성함수

 

 

함수의 대응 관계를 확장해 다수 집합의 대응 관계로 발전시킬 수도 이싿.

2개의 함수를 연쇄적으로 이어서 하나의 함수로 만드는 연산을 함수의 합성이라 한다.

위 그림은 세 집합 X, Y, Z 사이에 두 함수 f(x)와 g(y)가 존재하는 상황을 가정한다.

 

위와 같은 합성함수를

gㆍf 혹은 g(f(x)) 로 표시한다.

 

 

합성함수는 결합 법칙은 성립하지만, 교환 법칙은 성립하지 않는다.

 

(5) 항등함수와 역함수

함수에서도 항등원, 역원과 동일한 개념이 존재한다.

이를 '항등함수' '역함수'라고 부른다.

 

위 그림과 같이

f(x) = x 처럼, 정의역과 공역이 동일한 값을 가지도록 하는 함수를 항등함수라고 부른다.

 

어떤 함수 f(x)에 대해서

g(f(x)) = x 관계가 만족한다면, g(x)는 f(x)의 역함수라고 한다.

 

f(x)의 역함수는 위 첨자를 붙여 f^-1 (x) 로 표기하며, 

어떤 함수 f(x)와 그 함수의 역함수의 합성은 항상 항등함수가 된다.

 

역함수에서 주의할 점은 모든 함수가 역함수를 갖지는 않는다는 사실이다.

 

함수의 조건은

(1) 어떤 정의역은 두 개 이상의 공역을 가지지 않는다.

(2) 모든 정의역은 대응되는 공역이 존재한다.

 

그러면 이 조건은 역함수 관계에서도 역시 만족해야 한다.

 

 

이 함수의 역함수는 1번 조건을 만족하지 못한다.

그러므로 위 함수는 역함수를 가지지 않는다.

 

이 함수 또한 역함수를 구할 시 2번 조건을 만족하지 못하므로,

역함수를 가지지 않는다.

 

그러므로 전단사함수만이 역함수를 가진다.라는 것을 알 수 있다.

 

 (6) 합성함수의 역함수

함성함수의 역함수는 다음과 같은 관계를 가지고 증명은 접은글에 남긴다.

 

 

[2] 곱집합을 활용한 좌표 평면으로의 확장

곱집합(카테시안 프로덕트, Product Set) 이란 두 집합의 원소를 순서쌍으로 묶은 원소의 집합을 의미한다.

두 집합 A와 B가 있고 각 집합에 속한 원소를 a와 b라고 했을 때 집합 A와 B의 곱집합은 다음과 같이 표현한다.

 

 

이 정의를 통해 곱집합은 집합 A의 원소와 집합 B의 원소 간의 모든 가능한 조합을 포함하는 집합임을 알 수 있다.

곱집합의 요소는 각 집합의 원소 a와 b를 순서쌍으로 묶어 (a, b) 로 표현한다.

 

곱집합의 개념은 앞서 설명한 수의 이항연산 개념을 설명하는 데에도 사용할 수 있다.

 

 

또한 두 집합을 서로 수직으로 배치하는 곱집합의 성질을 응용하면, 하나의 직선으로 표현한 실수 집합 R을 확장해 두 실수 집합의 곱집합 R X R을 아래와 같이 평면으로 나타낼 수 있다.

 

 

세 질수 집합의 곱집합으로 3차원 공간을 표현할 수 있다.