[수학] 벡터: 가상 공간의 탄생

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[수학] 수: 가상 세계를 구성하는 가장 작은 단위

 

1. 데카르트 좌표계

[1] 데카르트 좌표계

실수와 실수의 곱집합을 사용하면 직선으로 표현되는 영역을 평면으로 확장해 표현할 수 있다.

이렇게 직선의 수 집합을 수직으로 배치해 평면을 표기하는 방식을 데카르트 좌표계라고 부른다.

곱집합의 원어가 데카르트 곱임을 생각해본다면 이 둘은 동일한 개념임을 알 수 있다.

데카르트 좌표계는 위 그림과 같이

수평으로 배치한 실수 집합의 미지수를 x

수직으로 배치한 실수 집합의 미지수를 y로 표기하고

원점을 기준으로 x축의 오른편, y축의 위편은 양의 영역을 타나내도록 표시한다.

 

그리고 나눠지는 총 4개의 면 각각에 위 그림과 같이 반시계방향으로 이름을 붙인다.

 

데카르트 좌표계의 한 원소는 곱집합과 동일하게 순서쌍으로 표현하며 좌표라고 부른다.

(x, y)

 

 

좌표계에서의 좌표를 표시할 때에는

수와 동일하게 점 혹은 원점으로부터의 화살표로 표현한다.

(위 그림에서 알 수 있듯, 좌표 역시 크기와 방향 두 가지 속성을 지닌다.)

 

좌표를 다루는 작업은 직선에서 평면으로 무대만 넓어졌을 뿐, 수직선에서 수를 다루는 방식과 매우 유사하다.

 

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2. 벡터 공간과 벡터

[1] 스칼라와 벡터

평면의 좌표 (x, y)는 두 실수 x와 y에 의해 정의되기에,

좌표의 연산은 실수가 지니는 연산의 성질을 바탕으로 설계되어야 한다.

 

실수의 연산 성질은 체의 구조를 띤다.

이를 기반으로 평면을 대표하는 집합을 규정하고, 해당 집합에서 이뤄지는 덧셈과 곱셈 연산 체계를 만들어야 평면에서의 움직임을 표현할 수 있다.

 

두 개 이상의 실수를 곱집합으로 묶어 형성된 집합을 공리적 집합론의 관점에서 규정한 것을 벡터 공간이라 하며,

벡터 공간의 원소를 벡터라고 한다.

 

공리적 집합론의 관점에서는 수 집합을 특정하지 않고, 연산이 갖는 성질만 다루기 때문에

좌표값으로 사용하는 x와 y를 실수로 규정하기보다는 체의 구조를 지니는 집합, 즉 체 집합의 원소로 규정한다.

이렇게 체의 구조를 가지는 수 집합의 원소를 스칼라라고 부른다.

 

즉, 우리가 좌표로 사용하는 실수 x와 y는 모두 공리적 집합론의 관점에서 스칼라인 것이다.

집합의 개념인 벡터 공간을 표기할 때에는 주로 V를 사용하고, 이의 원소인 벡터는 

이와 같이 표기한다.

 

 

[2] 벡터 공간의 연산

공리적 집합론의 관점에서 정의된 벡터 공간은 2가지 기본 연산이 존재한다.

1. 벡터의 합

 

2. 스칼라 곱셈

 

체가 갖는 연산의 성질에 기반해 벡터 공간의 연산이 갖는 성질은 아래와 같은 8가지로 정리할 수 있다.

이를 벡터 공간의 공리라고 한다.

 

• 벡터의 합
  • 벡터의 합은 결합법칙을 만족한다.
  • 벡터이 합은 교환법칙을 만족한다.
  • 벡터의 합의 항등원은 0벡터 (0,0) 이다.
  • 임의의 벡터 v의 역원은 (-v) 이다.
• 스칼라 곱셈
  • 스칼라 곱셉의 호환성
    a(bv) = ab(v)
  • 스칼라 곱셈의 항등원은 1이다.
  • 스칼라 곱셈과 벡터의 합에 대해서 분배법칙이 성립한다.
    a(u + v) = au + av
  • 벡터의 합과 스칼라 곱셈에 대해서 분배법칙이 성립한다.
    (a+b)v = av + bv

 

열거한 벡터 공간의 공리는 모두 체의 공리를 기반으로 하기 때문에 해당 공리가 참임을 바로 파악할 수 있다.

 

이번에는 벡터 공간에서 두 연산에 따라 점의 움직임이 어떻게 달라지는지 확인해보자.

 

이 그림을 살펴보면 벡터의 합 연산은 평면의 점을 각 축에 대해 독립적으로 평행 이동시키는 작업으로 해석할 수 있다.

 

다음으로 시칼라 곱셈의 시각적 의미를 살펴보자.

스칼라 곱셈으로 생성된 벡터는 원점을 지나고 벡터와 평행한 직선상에 위치한다.

 

 

[3] 벡터의 크기와 이동

수의 크기는 원점으로부터의 거리를 의미하며 절댓값 기호를 사용해 구할 수 있다.

벡터의 크기도 동일하게 원점으로부터의 최단 거리를 의미하며, 그 값은 피타고라스 정리를 사용해 거리를 측정한다.

 

 

이렇게 측정된 벡터의 크기 역시 절댓값 기호와 동일하게 수직 막대를 사용한다.

 

일반적으로는 || v || 수직 막대를 2개씩 사용하여 표현하며,

벡터의 크기는 노름 Norm이라는 용어로 부르기도 한다.

 

(1) 단위 벡터 (Unit Vector)

단위 벡터는 크기가 1인 벡터를 의미한다. 

단위 벡터는 벡터의 크기를 측정하는 기준이 되며, 아래와 같이 모자 기호를 씌워서 표시한다.

 

 

단위 벡터는 스칼라 곱셈의 성질을 이용해 임의의 벡터 v를 그 크기인 ||v|| 로 나누면 단위 벡터를 얻을 수 있다.

이를 벡터의 정규화(Nomalize) 라고 한다.

 

 

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3. 벡터의 결합과 생성

벡터 공간에서 벡터의 합과 스칼라 곱셈 연산은 선형성이 있어 선형 연산이라고도 한다.

선형 연산은 가환성, 동차성을 만족하는 연산을 의미한다.

 

가환성은 선형 연산 T와 두 수 a, b 에 대해서

T(a + b) = T(a) + T(b)

를 만족하는 것을 의미하고

 

동차성은 선형 연산 T와 두 수 a, b에 대해서 

T(ab) = aT(b)

를 만족하는 것을 의미한다.

 

즉, 선형 연산을 사용해 n개의 스칼라 a1, a2 ... an 과 벡터 v1, v2 .. vn 을 결합해 새로운 벡터 v를 생성할 수 있고

이러한 결합을 선형 결합이라고 한다.

 

선형 결합의 수식은 다음과 같다.

 

(1) 선형 종속

어떤 두 벡터 v1, v2 가 있다고 하자

 

임의의 두 스칼라 a, b에 대해서

a v1 + b v2 = 0 을 만족하는 0이 아닌 a, b가 존재할 경우

v1과 v2는 선형 종속관계라고 말한다.

 

(2) 선형 독립

어떤 두 벡터 v1, v2 가 있을 떄

 

임의의 두 스칼라 a, b에 대해서

a v1 + b v2 = 0 을 만족하는 0이 아닌 a, b가 존재하지 않을 경우

즉, a = 0, b = 0 이어야만 영벡터를 만들 수 있을 경우

v1과 v2는 선형 독립관계라고 말한다.

 

예를 들어

v1 = (1, 2)

v2 = (2, 4)

라는 두 벡터가 있을 때

a = 2, b = -1 에 대해서 영벡터를 선형결합 할 수 있다.

그러므로 위 두 벡터는 선형종속 관계이다.

 

v1 = (1, 2)

v2 = (2, 1)

라는 두 벡터가 있을 때

a = 0, b = 0 이 아니면 영벡터를 만들 수 없다.

글므로 위 두 벡터는 선형독립 관계이다.

 

벡터 간의 선형적 관계는 벡터 공간을 다룰 때 중요하게 사용된다.

선형 독립의 관계를 가지는 두 벡터는, 선형 결합을 통해 벡터 공간에 속한 모든 벡터를 생성할 수 있다.

 

벡터 v1(x1, y1), v2(x2, y2)가 선형 독립이라고 하자

임의의 벡터 v3(x3, y3)가 있을 때

 

로 나타낼 수 있다.

이것을 행렬 식으로 나타내면

 

로 나타낼 수 있다.

 

이 때, 선형독립이면 

의 det가 0이 아니라는 것을 의미한다.

 

따라서 위 행렬은 가역이며

연립방정식을 고려해봤을 때, 어떤 임의의 벡터 v3 에 대해 스칼라 a와 b가 항상 존재한다는 것을 알 수 있다.

 

결론적으로, 두 벡터가 선형 독립이라면 임의의 벡터를 그 두 벡터의 선형 결합으로 나타낼 수 있음을 의미한다.

 

이로써, 평면의 모든 점을 생성하기 위한 선형 결합식에는 서로 평행하지 않은 2개의 벡터가 필요함을 알 수 있으며, 두 벡터는 서로 선형 독립의 관계를 가져야 함을 확인할 수 있다.

 

2차원 유클리드 좌표계에서 벡터 3개의 선형 결합으로 평면의 모든 벡터를 만들어 낼 수 있는지 생각해보자.

예를 들어 선형 독립관계인 두 벡터 a, b가 존재한다고 하자.

 

여기에서 벡터 c를 더 추가했을 때

a, b를 이용해 벡터 -c도 만들 수 있기에

벡터 a, b, c는 반드시 선형 종속이다.

 

2차원 공간에서 3개 이상의 벡터를 사용하면 선형종속 관계임을 알 수 있고,

선형 독립의 관계를 가지려면, 반드시 2개의 벡터만 사용되어야 함을 알 수 있다.

 

 

(3) 기저

앞서 말한 선형 독립 관계를 가지는 벡터의 집합을 기저(Basis)라고 한다.

두 벡터 (1, 0)와 (0, 1)도 선형 독립 관계를 가지므로 기저다.

 

집합의 개념인 기저에 속한 원소를 기저벡터라고 한다.

벡터 (1,0)은 기저 B = {(1,0), (0,1)} 에 속한 기저벡터이다.

 

기저벡터를 다른 값으로 변경하면 기저벡터로부터 세워진 벡터 공간의 모든 원소가 바뀐다.

이것은 선형 변환의 기본 원이가 된다.

이러한 기저의 개념은 차원이라는 새로운 용어를 정의하는데 사용된다.

 

평면 벡터 공간을 정의하는 기저들의 종류는 수많이 존재한다.

그러나 2차원 평면을 정의하는 기저의 크기는 항상 2이다.

 

따라서 명확한 정의에 의해 평면에 대응하는 벡터 공간을 비로소 2차원으로 정의할 수 있게 되었다.

 

지금까지 설명한 벡터 공간은 2개의 실수 집합을 결합해 생성한 벡터 공간이다.

이를 구체적으로 나타내기 위해서 R² 으로 나타내며

이를 '2차원 실벡터 공간'이라고 부른다.

 

기저 중에서 일반적으로 사용되는 것은 단위벡터 (1, 0), (0, 1) 로 구성된 집합이다.

이를 특별히 표준기저라고 부르고 각 원소를 표준기저벡터라고 한다.

표준기저벡터는 순서대로 e1, e2 로 표기한다.

 

벡터 공간의 차원에는 제약이 없기 때문에 R² , R³, ... , Rⁿ 등.. 무한히 확장할 수 있다.

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